Ⅱ. 面倒な組み合わせ 模範解答

８０個のボールを次の条件に従って３つの箱Ａ，Ｂ，Ｃに入れます。
このとき、次の問いに答えよ。

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　≪条件≫
箱Ａには箱Ｃよりも２０個多いボールを入れる。
箱Ｂには箱Ａより少なく、箱Ｃよりは多くボールを入れる。
　
箱Aに入れるボールの数をａ個、箱Bにはｂ個、箱Ｃにはｃ個入れるとして、上記の条件を式にします。

Ⅰ.ａ＋ｂ＋ｃ＝８０
Ⅱ.ａ＝ｃ＋２０
Ⅲ.ａ＞ｂ＞ｃ

Ⅰ，Ⅱより
（ｃ＋２０）＋ｂ＋ｃ＝８０
　　　　　ｃ＋ｂ＋ｃ＝８０-２０
　　　　　　ｂ＋２ｃ＝６０･･･Ⅳ

Ⅱ，Ⅲより
（ｃ＋２０）＞ｂ＞ｃ
従って、ｂ＝（ｃ＋１）～（ｃ＋１９）･･･Ⅴ
　
①　この条件に従って３つの箱にボールを入れるとすると、箱Ｂには最低何個のボールを入れなければならないか。

箱Ｂに入れる数を最も少なくするには、ｂとｃの差を最も大きくすれば良い。
従って、ｂ＝ｃ＋１の場合を考えれば良い。これをⅣに代入すると、

　　　　ｂ＋２ｃ＝６０
（ｃ＋１）＋２ｃ＝６０
　　　　ｃ＋２ｃ＝６０－１
　　　　　　 3ｃ＝５９
　　　　　　　ｃ＝１９．．．２

ボールの数は整数なので、ｃ＝１９，ｃ＝２０の場合を考える。ｂ＝全数－(Ａの個数＋Ｃの個数)

ｃ＝１９の場合
ｂ＝８０－{(１９＋２０)＋１９}　
　＝８０－５８
ｂ＝２２

（ａ＝３９ ，ｃ＝１９）

 ｃ＝２０の場合
ｂ＝８０－{(２０＋２０)＋２０
　＝８０－６０
ｂ＝２０

（ａ＝４０ ，ｃ＝２０）

ｃ＝２０の場合、ｂ＝ｃとなるので条件を満たさない。従って、ｃ＝２０の場合、ｂ＝２２が正しい。

答．２２個

②　この条件に従って３つの箱にボールを入れるとすると、箱Ｂには最大何個のボールを入れることができるか。

箱Ｂに入れる数を最も少なくするには、ｂとｃの差を最も小さくすれば良い。
従って、ｂ＝ｃ＋１９の場合を考えれば良い。これをⅣに代入すると、

　　　　　ｂ＋２ｃ＝６０
（ｃ＋１９）＋２ｃ＝６０
　　　　　ｃ＋２ｃ＝６０－１９
　　　　　　　３ｃ＝４１
　　　　　　　　ｃ＝１３．．．２

ボールの数は整数なので、ｃ＝１３，ｃ＝１４の場合を考える。ｂ＝全数－(Ａの個数＋Ｃの個数)

ｃ＝１３の場合
ｂ＝８０－{(１３＋２０)＋１３}　
　＝８０－４６
ｂ＝３４

（ａ＝３３ ，ｃ＝１３）

 ｃ＝１４の場合
ｂ＝８０－{(１４＋２０)＋１４
　＝８０－４８
ｂ＝３２

（ａ＝３４ ，ｃ＝１４）

ｃ＝１３の場合、ａ＜ｂとなるので条件を満たさない。従って、ｃ＝１４の場合、ｂ＝３２が正しい。

答．３２個
③　この条件に従ってそれぞれの箱にボールが入っている。次に箱Ｃから、いくつかのボールを箱Ａに移したところ、
　　箱Ａと箱Ｃに入っているボールの数の比が７：２になった。箱Ｃから箱Ａに移したボールの数は何個か。

①，②より、箱Ｂに入っているボールの数は２２個～３２個の範囲である。
また、箱Ｃから、いくつかのボールを箱Ａに移した後は

ａ：ｃ＝７：２より
ａ＋ｃ＝（７＋２）ｎ　（ｎは正の整数）
　　　＝９ｎ（ａ＋ｃは９の倍数）
 また、
ａは７の倍数
ｃは２の倍数である。

従って、ｂ＝２２の場合、ａ＋ｃ＝８０－２２＝５８
　　　 ｂ＝３２の場合、ａ＋ｃ＝８０－３２＝４８となり、ａ＋ｃ＝４８～５８はこの範囲。
この内、ａ＋ｃ＝９ｎの条件を満たすのは、
ａ＋ｃ＝５４＝９×６
ｎ＝６の時だけである。

そして、ａ＋ｃ＝５４の条件を満たす時、ボールを移す前はａ＝３７ ，ｂ＝２６ ，ｃ＝１７である。
箱Ｃから箱Ａに移したボールの数をχとすると、
ボールを移した後はａ＝（３７＋χ）は７の倍数 ，ｃ＝（１７－χ）は２の倍数である。
ａからすると、χ＝5，１２，１９，２６，３３
ｃからすると、χ＝１，３，5，７，９，１１，１３，１５

共通するχの値は5だけである。

答．５個